Calculadora Black-Scholes

¿Qué es una calculadora de valoración de opciones Black-Scholes?

Una calculadora de valoración de opciones Black-Scholes es una herramienta que calcula el valor teórico justo de una opción call y put europea a partir de cinco datos, usando el modelo Black-Scholes: el precio spot del subyacente, el precio de ejercicio, el tiempo hasta el vencimiento, la volatilidad y la tasa de interés libre de riesgo. El modelo Black-Scholes es la fórmula cerrada que convierte esos datos en un único precio teórico, el valor que una opción debería tener hoy según los supuestos del modelo. Fue publicado en 1973 por Fischer Black y Myron Scholes en su artículo "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", con el marco ampliado ese mismo año por Robert Merton, un trabajo reconocido con el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1997, otorgado a Scholes y Merton, ya que Black había fallecido en 1995. La versión que añade un rendimiento por dividendo continuo se suele llamar el modelo Black-Scholes-Merton. Junto a los dos precios, la calculadora devuelve las cinco griegas de la opción, las sensibilidades que muestran cómo reacciona el precio cuando se mueve cada dato, razón por la cual un único contrato europeo usado en el trading de opciones produce siete resultados en una sola pasada en lugar de uno.

¿Por qué es importante la calculadora Black-Scholes para el trading?

La calculadora Black-Scholes es importante para el trading porque le da a un trader el valor teórico justo y la sensibilidad al riesgo de una opción antes de comprarla o venderla, convirtiendo una prima cotizada en algo que puede juzgar en lugar de simplemente aceptar. El precio de una opción no es obvio a partir del subyacente por sí solo: agrupa el spot, el precio de ejercicio, el tiempo restante, la volatilidad y la tasa de interés en una sola cifra, y sin un modelo no hay forma de saber si la prima en pantalla es barata o cara frente al valor justo. Al valorar el contrato a partir de esos cinco datos, la calculadora responde a la pregunta que importa en el momento de la decisión, que es si el mercado está pidiendo un precio justo por el riesgo que está a punto de asumir. Los traders recurren a ella antes de que se coloque la orden: para comparar una cotización en vivo frente al precio teórico, para ver cómo reaccionaría el valor si se movieran la volatilidad, el tiempo o las tasas, y para entender las griegas que impulsarán la posición una vez que la posean. Leer el valor justo primero es el mismo hábito de conciencia del riesgo que exige cualquier instrumento apalancado en el trading online responsable.

¿Cómo se usa la calculadora Black-Scholes?

Para usar la calculadora Black-Scholes, introduzca el precio spot, el precio de ejercicio, los días hasta el vencimiento, la volatilidad y la tasa libre de riesgo, y la herramienta devuelve el precio teórico de la call y de la put junto con las cinco griegas.

Los pasos para usar la calculadora Black-Scholes se indican a continuación:

1. Introduzca el precio spot. Es el precio de mercado actual de la acción o índice subyacente, mostrado en la fórmula como S.
2. Introduzca el precio de ejercicio. Es el precio al que se puede ejercer la opción, mostrado como K, y es la referencia frente a la que se mide el spot.
3. Fije los días hasta el vencimiento. Es el número de días naturales que quedan hasta que expire la opción, que la herramienta convierte en una fracción de año.
4. Introduzca la volatilidad. Es la volatilidad anualizada esperada del subyacente en porcentaje, normalmente la volatilidad implícita que está fijando el mercado.
5. Introduzca la tasa libre de riesgo. Es la tasa de interés anual de un activo seguro, como un bono del gobierno a corto plazo, introducida en porcentaje.

En Avanzado, puede añadir un rendimiento por dividendo para una acción o un índice que paga dividendos, cambiar la base de cómputo de días entre 365 días naturales y 252 días de negociación, y fijar la divisa; no hay un selector de call o put porque la herramienta valora ambas a la vez y recalcula cada resultado al pulsar Calcular.

¿Qué fórmula usa la calculadora Black-Scholes?

La calculadora Black-Scholes usa la fórmula Black-Scholes, que valora una call y una put a partir de dos términos intermedios, d1 y d2, pasados por la distribución normal acumulada y combinados con el spot y el precio de ejercicio descontados.

En estas fórmulas, S es el precio spot, K es el precio de ejercicio, T es el tiempo hasta el vencimiento en años (días divididos entre la base), σ (sigma) es la volatilidad, r es la tasa libre de riesgo, y q es el rendimiento por dividendo; N() es la distribución normal acumulada, así que N(d2) es, en términos generales, la probabilidad neutral al riesgo de que la call termine dentro del dinero. Introduciendo el caso a un año en el dinero, d1 = [ln(100/100) + (0,05 − 0 + 0,20²/2) × 1] / (0,20 × √1) = 0,35. Como un navegador no tiene tablas de probabilidad, la calculadora computa N(d) con una aproximación polinómica estándar (Abramowitz y Stegun 26.2.17), precisa hasta mejor de una parte en diez millones. La fórmula solo es válida para una opción europea y asume que la volatilidad y la tasa de interés se mantienen constantes durante la vida de la opción.

¿Qué ejemplo hay de un cálculo Black-Scholes?

Un ejemplo de un cálculo Black-Scholes es una call a un año en el dinero que vale $10,45, calculado de la siguiente manera:

1. d1 y d2. Con spot $100, precio de ejercicio $100, un año, 20% de volatilidad y una tasa del 5%, T = 1 y σ√T = 0,20, así que d1 = (0 + (0,05 + 0,02) × 1) / 0,20 = 0,35 y d2 = 0,35 − 0,20 = 0,15.
2. Probabilidades normales. N(0,35) = 0.6368 y N(0,15) = 0.5596, y el factor de descuento es e^(−0,05) = 0.9512.
3. Precio de la call = 100 × 0.6368 − 100 × 0.9512 × 0.5596 = 63,68 − 53,23 = $10,45.
4. Precio de la put = $5,57, que se obtiene por la paridad put-call, Call − Put = S × e^(−qT) − K × e^(−rT).

El escenario es una opción europea con precio de ejercicio en el dinero y sin dividendo, y la calculadora devuelve $10,45 para la call y $5,57 para la put, las mismas dos cifras que produce el ejemplo trabajado a mano.

¿Cómo se interpreta el resultado de la calculadora Black-Scholes?

Usted interpreta el resultado de la calculadora Black-Scholes mirando el precio de la call y de la put uno junto a otro y comprobando después el moneyness, la relación entre el spot y el precio de ejercicio (S/K), y la delta, que juntos le dicen dónde se sitúa la opción y cómo se comportará. El moneyness decide cuánto del precio es valor real, intrínseco, y cuánto es valor temporal, mientras que la delta le dice cuán de cerca sigue la opción al subyacente.

En el ejemplo en el dinero, la delta de +0.6368 significa que la call gana unos $0,64 por cada $1 que sube el subyacente, la firma de una opción con precio de ejercicio cerca del dinero. Sea cual sea el moneyness, una línea siempre se aplica: theta le cuesta dinero al comprador cada día, unos $0.0176 al día en esta call, porque el tiempo trabaja en contra de quien posee la opción. Lea el resultado como una fotografía del valor justo y del comportamiento ahora mismo, y después compárelo con la cotización de mercado antes de colocar la operación.

¿Cómo afecta la volatilidad a un cálculo Black-Scholes?

La volatilidad afecta a un cálculo Black-Scholes de forma directa porque una volatilidad más alta eleva tanto el precio de la call como el de la put, y es el dato al que el precio es más sensible, medido por la griega vega. Más volatilidad significa un rango más amplio de resultados posibles para el subyacente, así que una mayor probabilidad de que la opción termine dentro del dinero, algo que vale más para el poseedor tanto de una call como de una put. También es el único dato que no puede simplemente consultar: el spot, el precio de ejercicio, el tiempo y la tasa son todos observables, pero la volatilidad es una previsión. Los traders normalmente usan la volatilidad implícita que el mercado ya está fijando en esa opción, en lugar de la volatilidad histórica que ha mostrado el subyacente en el pasado, porque la volatilidad implícita refleja lo que el mercado espera de cara al futuro. Esto es lo que convierte a la volatilidad en el dato decisivo de la valoración de opciones: un pequeño cambio en la cifra que introduce mueve el precio teórico más que un cambio equivalente en cualquier otro campo, así que una estimación honesta de la volatilidad de mercado importa aquí más que en cualquier otra parte del modelo.

¿Cuáles son los límites de la calculadora Black-Scholes?

El límite principal de la calculadora Black-Scholes es que produce una estimación teórica, no un precio de mercado, y esa estimación es tan buena como la volatilidad que introduce. El modelo valora una opción limpia e idealizada, así que varias características de un mercado real quedan fuera de él. Ignora el spread bid-ask, así que nunca opera realmente al único valor justo que reporta. Asume una volatilidad constante en todos los precios de ejercicio, algo que los mercados reales contradicen a través del skew de volatilidad o sonrisa, donde la volatilidad implícita difiere según el precio de ejercicio y el vencimiento, una desviación bien documentada y recogida en "Options, Futures, and Other Derivatives" de Hull. Trata los dividendos como un rendimiento continuo y uniforme en lugar de los dividendos discretos que realmente se pagan en fechas concretas. Y solo valora opciones europeas, las que se pueden ejercer al vencimiento, así que no captura el valor de ejercicio anticipado de las opciones americanas habituales en las acciones individuales de EE. UU., que en su lugar se valoran con árboles binomiales, el método introducido por Cox, Ross y Rubinstein en 1979. También asume una tasa de interés constante y no dice nada sobre si una operación es una buena idea. Trate el resultado como un valor de referencia bien fundamentado con el que comparar una cotización, no como una garantía de lo que pagará o recibirá, y recuerde que es información educativa, no asesoramiento de inversión.

¿Cómo calcula la calculadora Black-Scholes las cinco griegas de la opción?

La calculadora Black-Scholes calcula las cinco griegas de la opción, delta, gamma, theta, vega y rho, cada una de las cuales mide cómo reacciona el precio de la opción cuando se mueve un dato mientras los demás se mantienen fijos. Son la firma de múltiples resultados de la calculadora, y leerlas le dice cómo se comportará la posición una vez que la posea.

Léalas como sensibilidades. La delta cerca de 0,5 marca una opción en el dinero y sube hacia 1 a medida que una call entra dentro del dinero; la gamma mide cuán rápido cambia esa delta, así que es mayor cerca del precio de ejercicio y cerca del vencimiento. La theta es el coste diario del desgaste temporal, que se acelera a medida que se acerca el vencimiento, mientras que la vega muestra que una subida de 1 punto en la volatilidad implícita añade unos $0,38 a esta opción, confirmando a la volatilidad como la palanca más grande sobre el precio. La rho suele ser la más pequeña de las cinco y es la que más importa en opciones a largo plazo. La gamma y la vega son idénticas para la call y la put, mientras que la delta, la theta y la rho llevan signos opuestos en cada pata, razón por la que la calculadora muestra ambas.

¿Cuál es la diferencia entre un cálculo Black-Scholes y un cálculo de beneficio en opciones?

Un cálculo Black-Scholes difiere de un cálculo de beneficio en opciones en qué mide y cuándo: un cálculo Black-Scholes da el valor teórico justo de una opción ahora mismo, antes del vencimiento, impulsado por la volatilidad, el tiempo y las tasas, mientras que un cálculo de beneficio en opciones da el beneficio o la pérdida de una posición al vencimiento, impulsado solo por dónde termina el subyacente frente al precio de ejercicio.

La diferencia práctica es que las dos herramientas responden a preguntas distintas y devuelven cifras distintas para la misma opción. Black-Scholes le dice cuánto debería valer el contrato hoy para que pueda juzgar su prima cotizada, mientras que un cálculo de beneficio en opciones le dice cuánto ganaría o perdería una posición si el subyacente alcanzara un precio dado al vencimiento. Usa esta calculadora para valorar la opción antes de abrir la operación, y una calculadora de beneficio para trazar el resultado una vez que está sopesando la salida.

¿Qué calculadoras están relacionadas con la calculadora Black-Scholes?

Las calculadoras relacionadas con la calculadora Black-Scholes se sitúan dentro del mismo flujo de valoración y beneficio de opciones, desde el valor justo de un contrato antes del vencimiento hasta el beneficio o la pérdida que deja una vez que se cierra una posición.

Las calculadoras relacionadas con la calculadora Black-Scholes se indican a continuación:

• Calculadora de beneficio en opciones: calcula el beneficio o la pérdida al vencimiento de una posición en opciones, la parte del pago que esta herramienta de valoración deja fuera.
• Calculadora de covered call: modela la estrategia de ingreso de mantener el subyacente y vender una call sobre él, un primer paso habitual en las opciones.
• Calculadora de beneficio en acciones: calcula el beneficio o la pérdida sobre las propias acciones subyacentes, sin el apalancamiento que añade una opción.
• Calculadora de ganancia porcentual: expresa un resultado como una rentabilidad porcentual, útil para comparar el resultado de una opción frente a la prima arriesgada.

FAQ

Esta herramienta es solo educativa, no asesoramiento financiero. El modelo Black-Scholes da un precio teórico para una opción europea, y los precios de mercado reales difieren debido al spread bid-ask, el skew de volatilidad, los dividendos discretos y el ejercicio anticipado. El trading de opciones conlleva un riesgo alto de perder dinero, incluida toda la prima que paga.